Plakana viļņa vienādojums atrisinājums

Plakana viļņa vienādojums atrisinājums

Vispārīgais vienādojuma (f. 2.18) risinājums sastāv no diviem sumantiem:

$p(t)\; = \;\;{f_1}\left( {t - \frac{x}{{co}}} \right)\; + \;{f_2}\left( {t + \frac{x}{{co}}} \right)\;$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ (2.20)

Tas norāda, ka matemātika paredz, ka vidē ir iespējama divu pretējos virzienos ejošu viļņu summa – tas ir tiešais un atstarotais vilnis. Praksē tas novērojams telpās vai tilpumos ar skaņu atsarojošām plaknēm kad no skaņas avota ejošais tiešais vilnis pārklājas ar pretējā virziena atstaroto vilni, radot stāvviļņus. Tiešajam vilnim ir tikai pirmais sumants.

Ja skaņas viļņa ierosinošā f-ja ir ar sinusoidālu raksturu (sk. f. 2.8), tad risinājums (f. 2.20) pieņem sekojošu veidu :

$p(x,t)\; = \;{p_{m + }}\sin \omega \;\left( {t - \frac{x}{{co}}} \right)\; + {p_{m - }}\sin \omega \;\left( {t + \frac{x}{{co}}} \right)$ kur ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ (2.21)

p_m+ , p_m– – viļņu (tiešā , atstarotā) skaņas spiediena amplitūdu vērtības [Pa].

2.5. zīm. parādīta plakana viļņa tiešās komponentes (f. 2.22) gaisa daļiņu skaņas spiediena izraisītā dinamiskā procesa stāvoklis laika momentā t = 0 un parametru laika f-jas. Skaņas viļņa dinamiskais process gaisa vidē uzklājas uz termodinamiskās molekulu haotiskās kustības. Viļņus ierosinošās spiediena izmaiņas jeb skaņas avots atrodas no attēlotā apgabala pa kreisi, bet viļņi izplatās uz labo pusi. Skaņas spiediena MAX pozitīvajā fāzē (x = x₁) veidojas daļiņu sablīvējums, kas rada gāzes spiediena pieaugumu (P_o+p_m). Sablīvējuma vidū daļiņas ir līdzsvara stāvoklī. Ar sarkanu attēlotas daļiņu novirze Δ x fiksētā koordinātē x1 kā svārstību fāzes leņķa ($\omega$t) un arī laika t funkcija. Analoģiski ar zilu attēlots daļiņu ātrums – Δ u, bet ar zaļu daļiņu paātrinājums – Δ a , kuru rada skaņas vilnis. Procesa koordinātes x un svārstību fāzes $\omega$t grafiskais mērogs izvēlēts vienāds, lai varētu uzskatāmi redzēt, ka daļiņu ātruma un spiediena izmaiņas ir vienā fāzē.

Tomēr jāatceras, ka pie fiksēta laika (t = 0) koordinātes x pozitīvais virziens jāinterpretē, kā negatīvais fāzes ($\omega$t) virziens, kas grafiskā analizē jāņem vērā. Bez tam 2.5. zīm. gaisa daļiņu novirzes amplitūda grafiski parādīta uzskatāmā (pārspīlētā) veidā. Pie MAX skaņas spiediena vērtībām viļņu izraisītās daļiņu novirzes no līdzsvara stāvokļa faktiski ir niecīgas:~10^-9 λ.

Šī vienādojuma risinājumi ir būtiski telpu akustikas aprēķinos, kad nepieciešams noskaidrot stāvviļņu ainu sekojošās situācijās:

• Skaņas avots dažādos virzienos izstaro atšķirīgus līmeņus un fāzi;
• Telpu izmēri dažādos virzienos ir atšķirīgi;
• Sienu virsmu skaņas atstarojošās īpašības ir dažādas.

Skaņas lauka atrisinājumi pat visvienkāršākajām taisnstūru formas telpām parasti ir ar sarežģītu un nereti arī asimetrisku skaņas telpiskā sadalījuma raksturu.