Sfērisku garenviļnu izplatīšanās

Sfērisku garenviļnu izplatīšanās

Praksē ap nelieliem skaņas avotiem, kuru izmēri lielā skaņas frekenču diapazonā ir mazāki par viļņa garumu – λ , skaņas viļņi izplatās visos virzienos un skaņas avota tuvumā šo viļņu vienas fāzes fronte ar Δ p MAX palienājumi vai retinājumi – (P_o ± p_m) veido sfērisku fronti. Protams, skaņas avotam šajā gadījumā jābūt ar vienādu starojuma fāzi un amplitūdu visos virzienos.

Viļņu vienādojums telpiskam vilnim ir vienādojuma (f. 2.31) specifisks gadījums, kad skaņas lauka spiediena summārie gradienti attālumā – r no skaņas avota centra visos radiālajos virzienos ir vienādi un ar diferenciālrēķinu palīdzību var iegūt sekojošu sfēriska viļņa vienādojumu:

$\;\frac{{{\partial ^2}(pr)}}{{\partial {r^2}}}\; = \;\;\frac{1}{{c{o^2}}}\;\frac{{{\partial ^2}(pr)}}{{\partial {t^2}}}$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ ${\rm{ }}$ (2.32)

Šis (f. 2.32) ir analoģiskas kārtas un sarežģītības divu mainīgo (r, t) vienādojums, kā plakana viļņa vienādojums (f. 2.18), bet ar būtisku atšķirību, jo funkcionālais mainīgais (pr) liecina, ka viļņu lauka atrisinājumam p jābūt ar diverģenci (izkliedi) un palielinoties r skaņas spiedienam ir jāsamazinās.

Izteiksmes (f. 2.35) reālā daļa ir p momentālo vērtību f-ja atkarībā no sfēriskā viļņa noskrējiena fāzes – kr, kas parādīta 2.6. zīm. ar violetu. Lai būtu iespējams izprast mērogus tad, piemēram, pie f = 343 Hz: λ = 1 m un tas saskaņā ar (f. 2.23) atbilst kr = 2π. Spiediena maksimuma vērtība izvēlēta, lai pie r = 1 m : p_m= 1 Pa. Tomēr saskaņā ar (f. 2.35) sfēriskā viļņa centrā (r = 0) skaņas spiediena f-ja p(r,t) tuvojas bezgalībai. Šāds rezultāts izskaidrojams ar to, ka nav skaņas avota. Pulsējoša lode centrā, vienādojumam dotu papildus robežnosacījumus; – lodes diametru un tās virsmas ātrumu ar reālu vērtību.

Ar violetu (sk. 2.7. zīm.) attēlota skaņas spiediena fāze attiecībā pret daļiņu ātrumu. Fāzu nobīde kļūst būtiska (φ>10º), kad r < λ. Pie 100 Hz tas būs 3,5 m attālumā no skaņas avota, piemēram, no akustiskajām sistēmām dzīvojamās telpās.

Izmantojot sakarības (sk. f. 2.37 un 2.38) un ievietojot tās (f. 2.35) var aprēķināt sfēriska viļņa daļiņu ātrumu atkarībā no noskrējiena fāzes – kr, kas parādīta 2.6. zīm. ar zilu. Kā redzams sfēriskā viļņa centrā (r = 0) daļiņu ātruma f-ja kļūst vienāda ar nulli u(r=0,t)=0.

Šāds rezultāts ir loģisks, ja nav skaņas avota, jo šajā punktā dažādos virzienos svārstošās daļiņas saduras ar pretējos virzienos svārstošajām daļiņam un tās visas nobremzējas, bet skaņas spiediena komponente bezgalīgi pieaug un arī Zs = 0 (sk. 2.7. zīm. – ar zilo). Praksē šāda teorētiski ekstrēma punkta situācija tiek novērsta ar reāla izmēra skaņas avotiem un ar svārstošo virsmu galīgiem ātrumiem.